Geometriske kuber. Hva er en diagonal kube, og hvordan finner du den

Eller en hexahedron) er en tredimensjonal figur, hvert ansikt er en firkant der, som vi vet, alle sider er like. Kube diagonal er et segment som passerer gjennom midten av figuren og forbinder symmetriske hjørner. I en vanlig hexahedron er det 4 diagonaler, og alle av dem vil være like. Det er veldig viktig å ikke forveksle diagonalen til figuren selv med diagonalen i ansiktet eller firkanten, som ligger i basen. Den diagonale flaten av terningen passerer gjennom midten av ansiktet og forbinder de motsatte vertikaler på torget.

Formel for å finne kubediagonalen

Diagonalen til en vanlig polyeder kan bli funnet ved hjelp av en veldig enkel formel som må huskes. D = a√3, hvor D er kube diagonal, og er kanten. Vi gir et eksempel på et problem hvor det er nødvendig å finne en diagonal, hvis det er kjent at lengden av kanten er 2 cm. Her er alt bare D = 2√3, selv ingenting må vurderes. I det andre eksempelet, la kubens kant være √3 cm, da får vi D = √3√3 = √9 = 3. Svar: D er 3 cm.

Formelen som du kan finne diagonal av kube-ansiktet på

Diago Diago   Du kan også finne et ansikt med formelen Du kan også finne et ansikt med formelen. Diagonalene som ligger på kantene er bare 12 stykker, og de er alle like. Nå husker vi d = a√2, hvor d er torgets diagonale, og er også kanten av kuben eller siden av torget. Forstå hvor denne formelen kom fra er veldig enkel. Tross alt er de to sidene av torget og diagonalformen. I denne trioen spiller diagonalen rollen som hypotenusen, og sidene på torget er beina, som har samme lengde. Husk pythagorasetningen, og alt vil umiddelbart falle på plass. Nå oppgaven: kanten av heksahedronen er √8 cm, det er nødvendig å finne diagonalen i ansiktet. Vi legger inn i formelen, og vi får d = √8 √2 = √16 = 4. Svar: Kubens ansikts diagonal er 4 cm.

Hvis kubens ansikts diagonal er kjent

Ved betingelsen av problemet får vi bare diagonalen til ansiktet på en vanlig polyeder, som er √2 cm, og vi må finne kubens diagonal. Formelen for å løse dette problemet er litt mer komplisert enn den forrige. Hvis vi vet d, kan vi finne kanten av kuben, basert på vår andre formel d = a√2. Vi får a = d / √2 = √2 / √2 = 1cm (dette er vår kant). Og hvis denne mengden er kjent, er det lett å finne kubediagonalen: D = 1√3 = √3. Slik løste vi vårt problem.

Hvis overflaten er kjent


Den følgende løsningsalgoritmen er basert på å finne diagonalen ved å anta at den er lik 72 cm 2. Til å begynne med finner vi området i ett ansikt, og det er seks av dem helt. Så, 72 må deles med 6, vi får 12 cm 2. Dette er området av en fasett. For å finne kanten av en vanlig polyeder, er det nødvendig å tilbakekalle formelen S = a 2, som betyr a = √S. Erstatter og vi får a = √12 (kubens kant). Og hvis vi vet denne verdien, er diagonalen ikke vanskelig å finne D = a√3 = √12 √3 = √36 = 6. Svaret: kubediagonalen er 6 cm 2.

Hvis lengden på kube kantene er kjent

Det er tilfeller når problemet er gitt kun lengden på alle kanter av kuben. Da er det nødvendig å dele denne verdien med 12. Det er antall sider i riktig polyhedron. For eksempel, hvis summen av alle kanter er 40, vil den ene siden være lik 40/12 = 3,333. Vi setter inn i vår første formel og får svaret!

Der du trenger å finne kanten av kuben. Dette er definisjonen av lengden på en kubekant av området av kubens ansikt, av kubens volum, ved diagonal av kubeflaten og ved kubens diagonale. Vurder alle fire alternativene for slike oppgaver. (De gjenværende oppgavene er som regel variasjoner av ovenstående eller oppgaver i trigonometri, som er svært indirekte relatert til det aktuelle emnet)

Hvis du vet området av kubens ansikt, så finn kanten av kuben veldig enkelt. Siden kubens ansikt er et firkant med en side som er lik kanten av kuben, er området lik torget av kubens kant. Derfor er lengden av kubens kant lik kvadratroten av ansiktets område, det vil si:

og - kubens kantlengde,

S er området av kube-ansiktet.

Å finne ansiktet på en terning i volumet er enda enklere. Gitt at kubens volum er lik kuben (i tredje grad) av kubens kantlengde, oppnår vi at lengden av kubens kant er lik roten til kubisk (tredje grad) av volumet, dvs.:

og - kubens kantlengde,

V er volumet av kuben.

Å finne lengden på en kube kant langs kjente diagonale lengder er litt vanskeligere. Betyr av:

og - kubens kantlengde

b er den diagonale lengden på kubens ansikt;

c - kubens diagonallengde.

Som det fremgår av figuren, danner diagonalen i ansiktet og kantene av terningen en rektangulær like-sidig trekant. Derfor, ved pythagorasetningen:

Herfra finner vi:

(for å finne kanten av kuben du trenger å trekke ut kvadratroten fra halve kvadratet av diagonalt ansikt).

For å finne kanten av kuben langs diagonalen bruker vi mønsteret på nytt. Kube diagonal (c), diagonal av ansiktet (b) og kubens kant (a) danner en riktig trekant. Så, ifølge Pythagorasetningen:

Vi bruker ovenstående forhold mellom a og b og erstatter i formelen

b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. Vi får:

a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, hvorfra vi finner:

3 * a ^ 2 = c ^ 2 derfor:

En terning er en rektangulær parallellpiped, hvor alle kanter er like. Derfor forenkles den generelle formelen for volumet av en rektangulær parallellpiped og formelen for dens overflate i tilfelle av en terning . Også volumet av terningen og dens overflate kan bli funnet, å vite volumet av ballen innskrevet i den, eller ballen som er beskrevet rundt den.

Du trenger

  • lengden på kubens side, radiusen til den innskrevne og beskrevne ballen

instruksjon

Volumet av en rektangulær parallellpiped er: V = abc - hvor a, b, c er dens dimensjoner. Derfor er kubens volum lik V = a * a * a = a ^ 3, hvor a er lengden på kubens side . Kubens overflate er lik summen av områdene av alle ansikter. Kuben har seks ansikter, så overflaten er S = 6 * (a ^ 2).

La ballen passe inn i terningen. Tydeligvis vil diameteren til denne ballen være lik kubens side . Ved å erstatte diameterens lengde i uttrykket for volumet i stedet for kubekantens lengde og ved å bruke at diameteren er lik to ganger radiusen, får vi da V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3) hvor d er diameteren til den innskrevne sirkelen og r er radiusen til den innskrevne sirkelen. Kubens overflateareal vil da være S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).

La ballen bli beskrevet rundt en terning . Da vil dens diameter falle sammen med kube diagonal. Kube diagonal passerer gjennom midten av terningen og forbinder sine to motsatte punkter.
Tenk på det første av kubens ansikter. Kanten på denne fasetten er beina av en riktig trekant, hvor diagonalen av ansikt d vil være en hypotenuse. Da, etter Pythagorasetningen, får vi: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.

Tenk så på trekanten hvor hypotenusen er diagonal av terningen , og diagonalen av ansiktet d og en av kantene på kuben a er dens ben. På samme måte får vi ved Pythagorasetningen: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3).
Så, i følge den avledede formelen, er kube diagonal D = a * sqrt (3). Derfor a = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). Derfor er V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), hvor R er radiusen til den beskrevne ballen. Kubens overflateareal er S = 6 * (D / sqrt (3)) ^ 2) = 6 * (D2) / 3 = 2 * (D2 2) = 8 * (R ^ 2).

Ofte er det oppgaver der du må finne kanten av en terning, ofte dette bør gjøres på grunnlag av informasjon om volum, fasettområde eller diagonal. Det er flere alternativer for å definere en kube kant.

I så fall, hvis kubens område er kjent, kan kanten lett bestemmes. Kubens ansikt er et firkant med en side som er lik kanten av kuben. Følgelig er området lik kubens firkantkant. Du bør bruke formelen: a = √S, hvor a er lengden på kubens kant, og S er området av kubens ansikt. Å finne en kube kant ved sitt volum er en enda enklere oppgave. Det er nødvendig å ta hensyn til at kubens volum tilsvarer kuben (i tredje grad) lengden av kubens kant. Det viser seg at lengden på kanten er lik kubusroten av volumet. Det vil si at vi får følgende formel: a = √V, hvor a er lengden på kubens kant, og V er kubens volum.


Diagonalt kan du også finne kanten av kuben. Følgelig trenger vi: a - lengden på kubens kant, b - lengden på diagonalen på kubens ansikt, c - lengden på kubens diagonal. Ved pythagorasetningen får vi: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2, og herfra kan du lett oppnå følgende formel: a = √ (b 2/2), som trekker ut kanten av kuben.


Igjen, ved hjelp av Pythagorasetningen (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2) kan vi få følgende forhold: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, hvorfra vi danner: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, derfor kan kubens kant fås som følger: a = √ (c ^ 2/3).


Igjen, ved hjelp av Pythagorasetningen (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2) kan vi få følgende forhold: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, hvorfra vi danner: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, derfor kan kubens kant fås som følger: a = √ (c ^ 2/3)